enhetligt gravitationsfält utan luftmotståndedit
detta är ”läroboken” fallet med den vertikala rörelsen hos ett objekt som faller ett litet avstånd nära ytan på en planet. Det är en bra approximation i luft så länge tyngdkraften på objektet är mycket större än luftmotståndets kraft, eller motsvarande är objektets hastighet alltid mycket mindre än terminalhastigheten (se nedan).
v ( t ) = v 0 + g t {\displaystyle v(t)=v_{0}+gt\,} y ( t ) = v 0 t + y 0 + 1 2 g T 2 {\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}+{\frac {1}{2}}gt^{2}}
där
V 0 {\displaystyle v_{0}\,} är initial hastighet (m/s). v(t) {\displaystyle v (t)\,} är den vertikala hastigheten med avseende på tid (m/s). y 0 {\displaystyle y_{0}\,} är den ursprungliga höjden (m). y(t ) {\displaystyle y (t)\,} är höjden med avseende på tid (m). t {\displaystyle t\,} är förfluten tid (er). g {\displaystyle g\,} är accelerationen på grund av tyngdkraften (9,81 m / s2 nära jordens yta).
enhetligt gravitationsfält med luftmotståndredigera
Acceleration av en liten meteoroid när man kommer in i jordens atmosfär med olika initiala hastigheter.
detta fall, som gäller fallskärmshoppare, fallskärmshoppare eller någon massmassa, m {\displaystyle M} och tvärsnittsarea , a {\displaystyle A}, med Reynolds-nummer långt över det kritiska Reynolds − talet , så att luftmotståndet är proportionellt mot kvadraten av fallhastigheten, v {\displaystyle v}, har en rörelseekvation
m d v d t = m g-1 2 C D A V 2, {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg – {\frac {1}{2}}\Rho c_{\mathrm {d} }av^{2}\,,}
där {\displaystyle \rho } är lufttätheten och C D {\displaystyle C_ {\mathrm {d} }} är dragkoefficienten, antas vara konstant även om den i allmänhet beror på Reynolds-talet.
Förutsatt att ett föremål som faller från vila och ingen förändring i luftens densitet med höjd, lösningen är:
v ( t ) = v ∞ tanh g t v ∞ ) , {\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\höger),}
där terminal hastighet ges av
v ∞ = 2 m g ρ C D En . {\displaystyle v_ {\infty } ={\sqrt {\frac {2mg} {\rho C_{D}A}}}\,.}
objektets hastighet kontra tid kan integreras över tiden för att hitta den vertikala positionen som en funktion av tiden:
y = y 0 − V 2 g ln 2 cosh ( g t v ) . {\displaystyle y=y_{0} – {\frac {v_ {\infty }^{2}}{g}}\ln \ cosh \ vänster ({\frac {gt}{v_ {\infty }}} \ höger).}
med siffran 56 m / s för en människas terminalhastighet finner man att han efter 10 sekunder kommer att ha fallit 348 meter och uppnått 94% av terminalhastigheten, och efter 12 sekunder kommer han att ha fallit 455 meter och kommer att ha uppnått 97% av terminalhastigheten. Men när lufttätheten inte kan antas vara konstant, såsom för föremål som faller från hög höjd, blir rörelsens ekvation mycket svårare att lösa analytiskt och en numerisk simulering av rörelsen är vanligtvis nödvändig. Figuren visar de krafter som verkar på meteoroider som faller genom jordens övre atmosfär. HALO hopp, inklusive Joe Kittingers och Felix Baumgartners rekordhopp, hör också till denna kategori.
Inverse-square law gravitational fieldEdit
man kan säga att två objekt i rymden som kretsar runt varandra i frånvaro av andra krafter är i fritt fall runt varandra, t.ex. att månen eller en konstgjord satellit ”faller runt” jorden, eller en planet ”faller runt” solen. Om man antar sfäriska föremål betyder att rörelsens ekvation styrs av Newtons lag om universell gravitation, med lösningar på gravitationens tvåkroppsproblem som elliptiska banor som följer Keplers lagar om planetrörelse. Denna koppling mellan fallande föremål nära jorden och kretsande föremål illustreras bäst av tankeexperimentet, Newtons kanonkula.
rörelsen av två objekt som rör sig radiellt mot varandra utan vinkelmoment kan betraktas som ett speciellt fall av en elliptisk bana med excentricitet e = 1 (radiell elliptisk bana). Detta gör att man kan beräkna fritt falltid för två punktobjekt på en radiell bana. Lösningen av denna ekvation av rörelse ger tid som en funktion av separation:
t (y ) = y 0 3 2 Cori ( y y 0 (1 − y y 0) + arccos Cori y y 0), {\displaystyle t (y)={\sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\left({\sqrt {{\frac {y}{y_{0}}}\left(1-{\frac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{y_{0}}}\right),}
där
t {\displaystyle t} är tiden efter fallets början y {\displaystyle y} är avståndet mellan kropparnas centrum y 0 {\displaystyle Y_{0}} är initialvärdet för y {\displaystyle y} 6 = g ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu =g(M_{1}+m_{2})} är standardgravitationsparametern.
genom att ersätta y = 0 {\displaystyle y=0} får vi fritt falltid.
separationen som en funktion av tiden ges av den inversa av ekvationen. Den inversa representeras exakt av den analytiska kraftserien:
y ( t) = POV n = 1 xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx]]. {\displaystyle y (t)=\sum _{n=1}^{\infty }\vänster\höger)\höger].}
utvärdering av detta ger: